確率計算0.3 等比級数計算

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確率計算の基本となる等比級数計算の説明です。
距離とか時間とかの連続変数に対応した確率分布の指標は積分で比較的簡単に求まりますが、大当り回数を変数とした離散変数に対応した確率分布の指標は級数の和を計算することになります。
特に、係数rの指数を基本とした等比級数
1,r,r^2,r^3,・・・
に関係した級数は上記2の確率分布指標の計算に多く出現しますのでその計算式を示しておきます。

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0.3.1 級数和の計算

Σr^i(i=0,1,・・・,n)の計算

S=1+r+r^2+r^3+・・・r^n ①
r*S=r+r^2+r^3+・・・r^(n+1) ②

①-②は①の2番目-②の1番目=0、①の3番目-②の2番目=0、より、
(1-r)*S=1-r^(n+1)、
S=(1-r^(n+1))/(1-r)

r<1で、n=∞とすばr^(n+1)=0より、
S=1/(1-r)

0.3.2 1乗和の計算

Σ(i+n)*r^i(i=0,1,・・・,∞)の計算

S=Σ(i+n)*r^i=Σi*r^i+n*Σr^i
Σi*r^i=r/(1-r)^2
Σr^i=1/(1-r)
より、
S=r/(1-r)^2+n/(1-r)

n=0の時はS=r/(1-r)^2

0.3.3 2乗和の計算

Σ(i+n)^2*r^i(i=0,1,・・・,∞)の計算

S=Σ(i+n)^2*r^i=Σi^2*r^i+2*n*Σi*r^i+n^2*Σr^i
Σi^2*r^i=2*Σi*r^i-Σr^i=r*(1+r)/(1-r)^3
Σi*r^i=r/(1-r)^2
Σr^i=1/(1-r)
より、
S=r*(1+r)/(1-r)^3+2*n*r/(1-r)^2+n^2/(1-r)

n=0の時はS=r*(1+r)/(1-r)^3

0.3.4 3乗和の計算

Σ(i+n)^3*r^i(i=0,1,・・・,∞)の計算

S=Σ(i+n)^3*r^i=Σi^3*r^i+3*n*Σi^2*r^i+3*n^2*Σi*r^i+n^3*Σr^i
Σi^3*r^i=3*Σi^2*r^i-3*Σi*r^i+Σr^i=r*(1+4*r-r^2)/(1-r)^4
Σi^2*r^i=r*(1+r)/(1-r)^3
Σi*r^i=r/(1-r)^2
Σr^i=1/(1-r)
より、
S=r*(1+4*r-r^2)/(1-r)^4+3*n*r*(1+r)/(1-r)^3+3*n^2*r/(1-r)^2+n^3/(1-r)

n=0の時はS=r*(1+4*r-r^2)/(1-r)^4

0.3.5 4乗和の計算

Σ(i+n)^4*r^i(i=0,1,・・・,∞)の計算

S=Σ(i+n)^4*r^i=Σi^4*r^i+4*n*Σi^3*r^i+6*n^2*Σi^2*r^i+4*n^4*Σi*r^i+n^4*Σr^i
Σi^4*r^i=4*Σi^3*r^i-6*Σi^2*r^i+4*Σi*r^i-Σr^i=r*(1+11*r+3*r^2+r^3)/(1-r)^5
Σi^3*r^i=r*(1+4*r-r^2)/(1-r)^4
Σi^2*r^i=r*(1+r)/(1-r)^3
Σi*r^i=r/(1-r)^2
Σr^i=1/(1-r)
より、
S=r*(1+11*r+3*r^2+r^3)/(1-r)^5+4*n*r*(1+4*r-r^2)/(1-r)^4+6*n^2*r*(1+r)/(1-r)^3+4*n^3*r/(1-r)^2+n^4/(1-r)

n=0の時はS=r*(1+11*r+3*r^2+r^3)/(1-r)^5

0.3.5 計算例

1 確率分布関数例
一定確率Rで連チャンが継続する場合の、連チャンn回の確率分布P(n)は、
P(0)=0
P(n)=(1-R)*R^(n-1)

2 平均値計算
平均値=Σi*P(i)(i=0,1,・・・,∞)
=Σi*(1-R)*R^(i-1)(i=1,2,・・・,∞)
=(1-R)*Σ(i+1)*R^i(i=0,1,・・・,∞)
=(1-R)*(1+R-1*R)/(1-R)^2
=1/(1-R)</p style="font-size: 8pt;">

3 分散計算
分散=標準偏差~2
=Σi^2*P(i)(i=0,1,・・・,∞)-平均値^2
=Σi^2*(1-R)*R^(i-1)(i=1,2,・・・,∞)-平均値^2
=(1-R)*Σ(i+1)^2*R^i(i=0,1,・・・,∞)-平均値^2
=(1+R-2*R^2)/(1-R)^2-1/(1-R)^2
=R/(1-R)

4 歪度計算
歪度=Σ(i-平均値)^3*P(i)/標準偏差^3
=(Σi^3*P(i)-3*平均値*Σi^2*P(i)+3*平均値^2*Σi*P(i)+平均値^3)/標準偏差^3
=((1-R)/R*Σi^3*R^i-3*平均値*標準偏差^2+7*平均値^3)/標準偏差^3
=((1-R)/R*R*(1+4*R-R^2)/(1-R)^4-3*1/(1-R)*(R/(1-R))^2+7*1/(1-R)^3)/(R/(1-R))^3
=4*(2+R-R^2)/R^3

5 突度計算
突度=Σ(i-平均値)^4*P(i)/標準偏差^4-3
=(Σi^4*P(i)-4*平均値*Σi^3*P(i)+6*平均値^2*標準偏差^2+3*平均値^4)/標準偏差^4-3
=(R*(1+11*R+3*R^2+R^3)/(1-R)^5-4*1/(1-R)*R*(2+R-R^2)/(1-R)^4+6*1/(1-R)^2*(R/(1-R))^2+3/(1-R)^4)/(R/(1-R))^4-3
=(6+25*R-19*R^2-2*R^3+3*R^4)/((1-R)*R^3)

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