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確率計算4.3 収束回転数

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4.3.1 収束に関する定理

収束に関係する確率の定理です。
・チェビシェフの定理:データの平均から離れるにしたがって、滅多に起こらない現象の割合が増える。
・大数の法則:ある確率を測るとき、試行回数を増やせば増やすほど、正確な確率に近づく。
・中心極限定理:ある母集団から無作為抽出された標本平均はサンプルのサイズを大きくすると真の平均に近づく。母集団の分布がどんな分布であっても、その誤差はサンプルのサイズを大きくしたとき近似的に正規分布に従う。

チェビシェフの定理によって大数の法則が導かれ、大数の法則によって中心極限定理が導かれることになります。

パチンコ台を打ち続ければ、一定の誤差範囲内でほぼ確率どおり(±nパーセント以内)に収束して行きます。

4.3.2 収束とは

確率の収束とは結果論であり、実際打っているこの世界ではなかなか収束しません。一日13時間程度の少ない試行回数では収束しません。

収束とは『謎の力が働いて収束する』のではなく、確率の性格から『結果を見たら収束している』だけです。
別に平均値以上勝った分だけ負けるスピードが加速するわけじゃありません。
また、平均値以上負けた分だけ勝つスピードが加速するわけじゃありません。
尚、別に平均値を収束させる必要はないと思います。特に、平均値以上勝っていた場合、平均値に戻すため負けるなんて意味無いことです。

標準偏差と収束に必要な回転数は密接にからみます。標準偏差の値を感覚的に理解するため、収束に必要な回転数を計算します。

4.3.3 収束の定義

大当たり確率pの台を打ち続けたとして、ほぼ確率どおり(±nパーセント以内)に収束するにはどれくらいの回転数が必要ですかという質問に対しては、答えは出ません。

実際に出た値との間で誤差が出ます。誤差を0とすればどれだけ多く回しても、答えは出ません。例えば、M/Nの確率を試行した場合、Nの整数倍の試行回数でなければ誤差は0には絶対なりません。

平均値A、標準偏差Sの確率分布において、試行をN回行った場合に観測された平均値Xとすると、その時の誤差は、統計量ABS(N^0.5*(X-A)/S)、自由度N-1のt分布P(t,N)に従います。
ここに、ABSは絶対値を意味します。

P(t,n)=Γ(n/2)/(((n-1)*π)*Γ((n-1)/2))*(1+t^2/n)^(-n/2)
Γはガンマ関数で実数の階乗を求めるためのものです。

t分布P(t,n)はEXCELではTDIST(t,n,TRUE)で計算できます。絶対値を取ってますから、TDIST(t,n,TRUE)はt=0の時最大となり、0.5の値をとります。

4.3.4 収束回転数の計算

誤差e以内で、確率pの台を平均値(1±r)*Aに収束させるのに必要な回転数Nは、

TDIST(N^0.5*r*A/S,N-1,TRUE)=e/2

なる方程式を解きNを求めることになります。ここに、N回転時の出玉有当たり回数分布のA/Sは、A/S=一回の連チャンでの大当たりの平均値/標準偏差*pt^0.5となります。

この方程式の一般解を求めることは困難ですので、t分布の近似式を用いて解きます。

Nが十分に大きいと、中心極限定理より、統計量t=N^0.5*r*A/Sはの標準正規分布に従うので、

回数N=(変動係数*係数/r)^2となります。

係数はe=10%の時1.65、e=5%の時1.96、e=1%の時2.58となります。

正規分布の±1.65*標準偏差、±1.96*標準偏差、±2.58*標準偏差の区間内の確率が90%、95%、99%にするための係数です。

これより、収束回転数Nは、

N=変動係数^2/大当り確率*(係数/r)^2

で求まります。

r=e=5%とした時を95%収束回転数とします。

95%収束回転数=変動係数^2*(1+1/実質継続確率)/大当り確率*(1.96/0.05)^2

r=e=1%とした時を99%収束回転数とします。

99%収束回転数=変動係数^2*(1+1/実質継続確率)/大当り確率*(2.58/0.01)^2

4.3.5 機種の荒さ、射幸性と正規化大当り確率

機種の荒さ、射幸性を収支に関するバラツキ具合、即ち、収束のしにくさと定義します。

上記4.3.4で示したように、収束回転数=変動係数^2/大当り確率*(係数/r)^2

この中の機器固有な部分、変動係数^2/大当り確率とベース補正計数をかけ合わせて、

正規化大当たり確率=大当り確率/(変動係数^2*ベース補正計数)*0.834

を定義します。

ベースは収支面から、実質的な大当り確率分母に影響します。
ベース補正計数=無駄玉無等価ボーダー/ヘソ3個戻・その他無等価ボーダー
で定義します。

求め方は
確率計算6.3 ベース補正の回転率計算
に示してあります。

0.834は、この係数を掛けることで、正規化大当り確率がどのような大当り確率のスペックに対応するかが簡単に対応づけられるようにするためのものです。

正規化大当たり確率の分母を50単位でクラス分けして下記に対応づけられます。

・<75:激甘デジ機級
・<125:甘デジ機級
・<175:ライト機級
・<225:ライトミドル機級
・<275:ローミドル機級
・<325:ミドル機級
・<375:ハイミドル機級
・<425:マックス機級
・>450:激辛マックス級
・>600:超激辛マックス級
・>1000:宝くじ級

4.3.6 正規化大当り確率と収束回転数との関係

正規化大当り確率と収束回転数は比例関係にあります。

表現の違いだけで、どちらも同じものを表してます。

r=e=0.1とした時の90%収束回転数=326.4*正規化大当り確率

r=e=0.05とした時の95%収束回転数=1842.0*正規化大当り確率

機種の荒さ、射幸性に関する指標には正規化大当り確率を使用、収束の回数に関する指標には収束回転数を使用した方が直観的にはわかり易いと思われます。

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