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立ち回り2.1 簡単なスペックの収支分布

収支分布が分布がとのようなものかをを理解するため、単純なスペックで収支分布を求めるまでの一連の計算を行います。実際に使用されている複雑なスペックでの収支分布の求め方はここでの計算を元に、拡張していきます。立ち回り2.2に複雑なスペックの収支分布の計算の方法を示してあります。

2.1.1 連チャン回数の分布

ヘソ・電チューで継続確率が同じで、潜伏や出玉無当たりのない単純なスペックの連チャン回数分布について考えます。継続確率Paのスペックの連チャン回数n回の確率Pr(n)はPr(n)=(1-Pa)*Pa^(n-1)となります。

平均値=Σn*Pr(n)(n=1~∞)=Σn*(1-Pa)*Pa^(n-1)(n=1~∞)=(1-Pa)/(1-Pa)^2=1/(1-Pa)

標準偏差^2=Σn^2*Pr(n)(n=1~∞)-平均値^2=Σn^2*(1-Pa)*Pa^(n-1)(n=1~∞)-1/(1-Pa)^2=(1+Pa)/(1-Pa)^2-1/(1-Pa)^2=Pa/(1-Pa)^2

変動係数=標準偏差/平均値=√Pa

2.1.2 初当たり回数の分布

初当たり回数分布について考えます。

確率計算5.1 初当たり回数分布の計算に示すように、大当り確率をPt、総回転数をN、初当たりn回の確率をPh(n)とすれば、Ph(n)は二項分布BINOMDISTとなります。

Ph(n)=BINOMDIST(n,N,Pt,FALSE)=N!/(n!*(N-n)!)*Pt^n*(1-Pt)^(N-n)
ここに、!マークは階乗を表します。n!=1*2*・・・*nです。即ち、大当りn回の確率Pt^n、ハズレN-n回の確率(1-Pt)^(N-n)にその組み合わせ数N!/(n!*(N-n)!)を掛けたものになります。

BINOMDIST(n,N,Pt,FALSE)はEXCELの二項分布を計算する関数です。スイッチFALSEは二項分布の値そのものを、TRUEはnまでの累計確率を示します。

平均値=Σn*Ph(n)(n=0~N)=N*Pt
標準偏差^2=Σn^2*Ph(n)(n=0~N)-平均値=N*Pt*(1-Pt)

一般的に、Pt(例えば1/400)<<1ですから、
標準偏差^2=N*Pt、
変動係数=標準偏差/平均値=1/√(N*Pt)

2.1.3 総出玉有当たり回数の分布

総出玉有当たり回数は2.1.1の連チャン回数の分布と2.1.2の初当たり回数の分布を重ね合わせたものになります。

総当たり回数の計算では、重ね合わせは、例えば総当り5回の場合、

・初当たり1回、5連チャン、合計確率=BINOMDIST(1,N,Pt,FALSE)*1*(1-Pa)*Pa^4
・初当たり2回、4-1、3-2、2-3、1-4連チャン、合計確率=BINOMDIST(2,N,Pt,FALSE)*4*(1-Pa)^2*Pa^3
・初当たり3回、3-1-1、2-2-1、2-1-2、1-2-2、1-3-1、1-1-3連チャン、合計確率=BINOMDIST(3,N,Pt,FALSE)*6*(1-Pa)^*Pa^2
・初当たり4回、2-1-1-1、1-2-1-1、1-1-2-1、1-1-1-2連チャン、合計確率=BINOMDIST(4,N,Pt,FALSE)*4*(1-Pa)^4*Pa^1
・初当たり5回、1-1-1-1-1連チャン、合計確率=BINOMDIST(5,N,Pt,FALSE)*1*(1-Pa)^5*Pa^0

の全ての確率の和となります。

従って、確率計算5.2 総出玉有当たり回数の分布に示したように、総出玉有当たりがH回になる確率Pt(H)は、
Pt(H)=∑(1-Pa)*BINOMDIST(X-1,H-1,1-Pa)*BINOMDIST(X,N,Pt)(X=1~H)

尚、当たりを一回も引かない確率はPt(0)=(1-Pt)^Nとなります。

平均大当たり回数=ΣH*Pt(H)=N*Pt/(1-Pa)=連チャン回数の平均値*初当たり回数の平均値

標準偏差~2=N*Pt/(1-Pa)^2*(1+Pa-Pt)

Pt<<1ですから、

標準偏差~2=N*Pt/(1-Pa)^2*(1+Pa)

変動係数^2=標準偏差~2/平均値^2=(1+1/Pa)*連チャン回数^標準係数^2/(N*Pt)=N*Pt/(1-Pa)^2*(1+Pa)/(N*Pt/(1-Pa))^2=(1+Pa)/(N*Pt)=連チャン回数分布の変動係数^2*(1+1/実質継続確率)/(N*Pt)

ここでは、Paの部分を連チャン回数分布の変動係数^2とみなして、一般化しましたが、これは2.3.1で述べる収束に関する中心極限定理から導かれる収束回転数の係数からも言えることで、このような形で変動係数を一般化しても問題はないと思われます。

標準偏差は連チャン回数の標準偏差と初当たり回数の標準偏差の積に、その2つの重ね合わせから生じる(1+Pa-Pt)の項をかけ合わしたものとなります。

2.1.4 計算例

大海物語3スペシャルの連チャン回数分布、初当たり回数分布は下記のようになります。
Rengraph
Rengraph1

この2つのグラフを重ね合わせて総出玉有当たり回数分布を作成すると、下記のグラフとなります。
Rengraph2

2.1.5 出玉の分布

2.1.3 総出玉有当たり回数の分布Pt(H)で総大当り回数Hに対する確率が求まります。

出玉=1回の当たりの出玉*大当り回数ですから、

大当り回数H=出玉D/1回の当たりの出玉

でHを求めれば、Pt(H)が出玉Dの確率となります。

大当り回数Hは整数ですので、出玉D/1回の当たりの出玉の値が整数でない場合は、その前後の整数値でのPt(H)を按分した確率となります。

例えば500個単位で横軸をとり、その出玉に対応する確率を求めるには、出玉D/1回の当たりの出玉の値の前後の整数値でのPt(H)を按分した確率で求まります。

1回の当たりの出玉が一定、即ちラウンド数が一定の場合は、この方法で分布が計算できます。従って、標準偏差や平均値はPt(H)の標準偏差や平均値にそれぞれ1回の当たりの出玉を掛けたものとなり、変動係数=標準偏差/平均値なのでPt(H)の変動係数と同じとなります。

2.1.6 収支の分布

確率計算7.3 収支の分布計算で示したように、

大当り回数=収支/(1回の当たりの平均獲得差玉*換金額)+平均大当り回数*(回転率/ボーダーライン))*(平均玉単金/4)。

4円等価の場合は、上記式は

大当り回数=収支/(1回の当たりの平均獲得差玉*4)+平均大当り回数*(回転率/等価のボーダーライン))

この式で収支に対応した大当り回数Hを求め、2.1.3 総出玉有当たり回数の分布Pt(H)で総大当り回数Hに対する確率を求めます。

大当り回数Hは整数ですので、ここで計算した大当り回数整数でない場合(ほぼ100%整数でない)は、その前後の整数値でのPt(H)を按分した確率となります。

2.1.4の例で示した大海物語3スペシャルの等価の収支分布グラフは下記のようになります。

Balance1

回転率の違いは、同じグラフを単純に横移動したものです。若干違って見えるのは、間隔を1万円とか5千円と大きな単位としたために生じた誤差です。

尚、収支分布に大きな影響がある、潜伏とか、ラウンド数分布とかを考慮した収支分布の計算については、確率計算7.5 複雑なスペックの収支分布計算を参照してください。

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